Soit n un nombre entier positif (n ∈ N*).
T(n) = n(n+1) / 2
T(n) = 1540 => T'(n) = 1 + 540 = 541 T(n) = 150426 => T'(n) = 150 + 426 = 576 T(n) = 1999000 => T'(n) = 1 + 000 + 999 = 1000 = > 1 + 000 = 1.
La formule complète de notre mode opératoire est donc la suivante :
T'(n) = MOD (n(n+1) / 2, 999)
Le script de calcul situé dans le menu flottant à droite permet de générer le trigon et les suites trigoniques d'un nombre entier quelconque. Il indique également le nombre de cycles maximum en fonction du modulo. Un autre petit script permet de calculer si la racine trigonique de n'importe quel nombre entier existe (il vérifie si la formule T(n) = n(n+1) / 2 s'applique à ce nombre). |
2. Les observations
Que constate-t-on ? La suite de nombres ainsi obtenus par "trigonisation/réduction" n'est pas illimitée. Tous les nombres s'inscrivent dans des cycles.
Par exemple, calculons la suite trigonique de 2 :
1. 6
2. 21
3. 231
4. 26796
5. 822
6. 338253
7. 591
8. 174936
9. 111
10. 6216
11. 222
12. 24753
13. 777
14. 302253
15. 555
16. 154290
17. 444
18. 98790
19. 888
20. 394716
21. 111
La boucle est bouclée.
Il existe 8 cycles différents, ou 7+1 cycles (en mettant le nombre 1 à part), que nous désignerons par convention :
1, 75, 111, 297, 333, 630, 703, 999,
d'après les nombres inférieurs qui les composent (voir plus loin).
-> Voir un script de calcul automatique des occurrences de cycles.
Tous les cycles existent déjà pour 1<n<38, à l'exception de 297 qui n'est valable que pour n>=297.
Se distinguent trois cycles principaux : 111, 333 et 703. Ils contiennent en effet 89 % des nombres de 1 Ã 100 et 87,6 % des nombres de 1 Ã 100 000 :
111 = 42
703 = 33
333 = 14
999 = 6
75 = 2
630 = 2
1 = 1
Voici la répartition complète pour les nombres de 1 à 1 000, qui montre l'apparition du cycle, 297 :
111 = 420
703 = 315
333 = 140
999 = 70
75 = 24
1 = 19
630 = 8
297 = 4
Répartition des nombres de 1 à 100 000 :
111 = 4204
703 = 3153
333 = 1402
999 = 700
75 = 240
1 = 181
630 = 80
297 = 40
4 des cycles peuvent être qualifiés de "directs" en ce sens qu'ils ne sont composés que d'un seul nombre : c'est le cas de 1, 297, 703, 999. Exemple :
T(31) = 496 T'(496) = 379 T'(379) = 82 T'(82) = 406 T'(406) = 703 T'(703) = 703 Nombres contenus par les autres cycles : |
Quelques conséquences du mode opératoire :
1 <= T'(n) <= 999et
T'(n) = T'(998-n)
Annexes :
- Un article généraliste sur la spéculation en sciences et en arithmétique en particulier.
-
Pour plus d'informations en français et en anglais sur la Tétraktys pythagoricienne.
-
A consulter pour voir une des applications ésotériques de la Tétraktys : Introduction à une théorie des nombres bibliques, par Raymond Abellio (Gallimard). "La première question soulevée par une réelle légitimation de notre mode opératoire (...) La réponse devait être trouvée en ceci, qui découle d'un théorème classique de l'arithmétique, que la somme des nombres obtenus en découpant un nombre donné à partir de la droite en tranches de trois chiffres est égale au reste de la division de ce nombre par 999." (R. Abellio, Introduction à une théorie des nombres bibliques, p. 429)
- Exécutable trigon.exe qui permet de calculer les suites trigoniques (merci à Fabien pour la programmation en C).
-Tableau d'équivalence de quelques formules trigoniques pour les 144 premiers nombres.